Orbitální mechanika

Primary tabs

MEK příspěvek #4954Samozřejmě za inerciální souřadnou soustavu můžeme považovat i jakoukoli soustavu, která se vůči soustavě vázané na "hvězdy" pohybuje rovnoměrně přímočaře. V prvním přiblížení můžeme za takovou soustavu považovat i soustavu, která má např. střed v těžišti Země, osu x ve směru k jarnímu bodu a osu z shodnou s rotařční osou Země (osa y doplòuje systém obvyklým způsopbem, tj. je kolmá na x a z). Tato soustava už není inerciální, protože nevykonává pohyb rovnoměrný přímočarý a porjevuje se v ní pohyb Země kolem Slunce. Má však tu výhody, že mohu zase v prvním přiblížení, zanedbat gravitační působení Slunce (as pokud nejsem ve veklých vzdálenostich od povrchu Země, řekněme do málo desít tisíc kilometrů), mohu zanedbat i gravitační vlivy Měsíce). Ale nemohu samozřejmě zanedbat gravitační přitažlivost Země.Pokud však použiji soustavu pevně ¨svázanou s povrchem Země, tak i tuto mohu - v druhém přiblížení - považovat za inerciální, pokud se pohybuji v malých rozměrech (řádově kilometrů). Jinak musím do nezbytně zahrnovaných sil - tj. gravitační síly, tahu motoru a aerodynamických sil - zahrnout i zdánlivou Coriolisovu sílu - pokud se zrovna nepohybuji v rovině rovníku. Ono to samozřejmě - a v tom s Vámi souhlasím - nic na výsledku nemění, jenom to komplikuje výpočet. Velmi podstatné to pak je v případě pohybu družic kolem země na dráhaách s nenulovým sklonem k rovníku. I tady - pokud budete počítat v rotujících (tedy vlastně topografických souřadnicích), budou rovnice podstatně složitější. Proto také elementy drah družic - nebo stavový vektor [x,y,z,Vy,Vy,Vz] - vždycky vztahovány k nerotující souřadné soustavě popsané jako příklad v prvním odstavci.Absoluně ideální inerciální souřadnou soustavu vlastně nelze realizovat nikdy, protože o žádném bodu ve vesmíru nemůžeme tvrdit, že se skutečně pohybuje rovnoměrně přímočaře, protože nevíme, vůči čemu to vztáhnout.Co se týče průběhu úhlu náklonu a náběhu při optimalizovaném vzletu rakety. Teď jsem se díval do chytré knihy , kterou napsal Harry O. Ruppe, "Introduction to Astronautics" (mám ji v ruském překladu ještě z doby totáče, kdy se to dalo za pár korun sehnat v Sovětské knize) a problému navádění na dráhu je věnováno 65 stránek, nabitých rovnicemi. Jen část o tzv,. gravitačním manévru (to je zakřivení dráhy vzlétající rakety) má dohromady asi 12 stránek. V podstatě říká, že analytické řešení není jednoduché a že je nutno to dělat numericky na počítačích, cituji v překladu "Optimalizace dráhy letu na aktivní úseku je velmi složitý případ, a dojít k přesnému analytickému řešení není v tomto případě možno. Problém se rozpadá na dva dílčí problémy: optimalizace velikosti tahu a optimalizace směru vektoru tahu."Počítá pak ukázkový případ, kde úhel mezi vektorem tahu a vektorem okamžité rochylsti se pohybuje během letu v atmosféře měi 0,5 a 0,6 stupně. Teprve po dosažení výšky nad 100 km vzroste na necelé 3 stupně. U čistého gravitačního manévru jsou vyšší graviační ztráty (dráha není optimální), protože dráha musí být na počátku podstatně strmější. Nevím, zdali budu mít čas napsat na to program a nasimulovat to (ale bylo by to bez vlivu atmosféry).

Navrhnem Ti moj jednoduchy orientacny postup.

Ak mam zname moznosti nosica planetoletu, tak knemu dokazem najst startovacie okno pre lubovolne casove rozmedzie. Staci mi:
1/ zadat uhol medzi vektorom miesta startu a vektorom pretatia drahy cieloveho telesa. (Stred suradnicovej sustavy Slnko)
2/ zadat dobu letu.
(doba moze byt lubovolna, i nasobky obeznych dob a naviac ma ani tvar drahy, ani zrychlenia/brzdenia/obchadzky a klucky, ani nic dalsie ma nezaujima)

Kedze poznam polohu planet v kazdom case (vid xls, uz som zalohu nasiel :D), tak od zadaneho datumu startu zistim kedy pretnem cielovu drahu a zistim kde je v tom case planeta, ktoru som mal trafit.
Lahko urcim rozdiel o aky uhol som sa netrafil.
Kedze uhlove rychlosti startovacej i cielovej planety poznam, lahko vypocitam o kolko musim datum startu posunut a ziskavam startovacie okno.

Jeho velkost zavisi od manevrovacich schopnosti planetoletu, palivovej rezervy, potrebnej presnosti, vzajomnych rychlosti,...

Napr. ak staci zachytenie sondy Marsom, tak sonda musi preletiet pri svojej rychlosti okolo Marsu vo vzdialenosti tak, aby bola vyssia ako kruhova a mensia ako unikova.
Tolko manevrovacich schopnosti by mohla mat snad aj slnecna plachetnica. Mala vychylka pri miliony kilometrovcych drahach...

P.S.: Akurat ten xls, pre moju pohodlnost som zobral strednu vzdialemost, stredny polomer drahy, priemernu obeznu rychlost, kruznicove drahy a pre excentricke drahy som stred kruznice posunul kusok mimo Slnka. Tiez startovacie polohy boli odcitane uhlomerom z tlacenej publikacie a novy openoffice nezvladol celkom graficke zobrazenie, ked posunul podklad voci pocitanym poloham.
Na druhej strane som bol za jeden vecer s tym hotovy.

V kazdom pripade som s tym bol schopny urcit polohu planet na oblohe pre datum a hodinu pozorovania.

Díky za první ohlasy. Je jasné, že součástí "systému" pro výpočet startovních oken musí být i něco, co dostatečně přesně určí polohy planet v určitém časovém intervalu. Obávám se, že pro moje účely mi nebude stačit zjednodušení pohybu planet na pohyb po kružnicích. Vždycky jsem byl totiž docela překvapen, jak se pro různá startovní okna (v různých rocích) poměrně značně mění potřebná delta_v pro odlet i přílet mezi stejnými planetami. Proto bych to chtěl počítat co nejpřesněji. Vypadá to, že základní fyzikální a matematický "aparát" je uveden např. na stránce http://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_mechanics . Uvádí se tam, že klasický výpočet Hohmannových drah dává relativně nepřesné výsledky jak pro delta_v, tak pro "časování" manévrů. Přesnější výsledky prý dává postupné rozložení výpočtu mezi "sféry vlivu" (např. Země, pak Slunce a pak Marsu). Nejpřesnější výsledky prý dává numerický výpočet (postupně zpřesòované číselné řešení analyticky neřešitelných rovnic). Celá ta "problematika" je docela rozsáhlá a složitá, takže by se mi opravdu hodila nějaká už hotová "softwarová podpora". Našel jsem zatím jakýsi "Java Astrodynamics Toolkit" - http://jat.sourceforge.net/ , který vypadá nadějně, ale zdá se, že to je jen "framework", který bude třeba "doprogramovat", aby to počítalo to, co bych chtěl. Zkusím to prozkoumat, ale pokud někdo znáte něco lepšího (jednoduššího), dejte mi vědět.

Vím Aleši, že hledáš spíš nějaký šikovný softík a nejlépe zdarma, ale třeba by se ti mohl hodit zatím aspoò odkaz na dvě knihy, které potřebné výpočty zaručeně obsahují:

Space Mission Analysis and Design by Wertz and Larson
[url]http://www.amazon.com/Mission-Analysis-Design-Technology-Library/dp/1881... [/url]

Fundamentals of Astrodynamics and Applications by Vallado
[url]http://www.amazon.com/Fundamentals-Astrodynamics-Applications-David-Vall... [/url]

Hladas univerzalne riesenia, alebo ti staci riesenie konkretneho pripadu?
konkretny pripad je riesitelny metodami 60 rokov, celkom vyhodne s dostupnymi utilitkami a softikmi. univerzalny je na mesiace programovania.

Myslim, ze prave chybajuci element, vypocet vlastnej drahy planetoletu je kamenom urazu univerzalnosti vypoctov.

A pre pohony s nizkym tahom sa okrem sfer vplivu musis vysporiadat aj s problemom troch telies, alebo aspon s restringovanym problemom http://sk.wikipedia.org/wiki/Re%C5%A1tringovan%C3%BD_probl%C3%A9m .

Rozdiel delta v pre rozne startovacie okna je uz trivialny, lebo sa tyka relativne jednoducheho pohybu takmer vylucne vo sfere Slnka a je urcovany excentricitami drah, a teda roznej dlzky drahy letu a vzdialenia sa od Slnka, ktoru musi planetolet prekonat. Pre pohon s nizkym konstantnym tahom prve dve fazy a posladne dve fazy budu takmer identicke pre lubovolne startovacie okno.

1/ vpliv Zeme
2/ problem troch telies Zem, Slnko, Planetolet
3/ vpliv Slnka
4/ problem troch telies
5/ vpliv Marsu

Kde kladies hranice medzi sfery vplivu? +-3 rady ? pri 4 radoch uz aj LEO je problemom troch telies.

Az takyto soft vypatras, daj vediet. Ale predpokladam, ze bude obsahovat spustu zjednoduseni, i ked zrejme nie tak brutalne jek ja. :)

btw. rozdielne delta v je aj vplivom znacnej excentricity drahy Marsu a rozdielu min. a max. rychlosti az o 4,5 km/s.

preto bude jednoduchsie postup obratit a voci cielovej polohe Marsu hladat startovaciu polohu stabilnejsej Zeme.

Naviac lode triedy Galaxy nebudu mat so startovacim oknom ziaden problem. :D

Nešlo by tohle:
http://www.aerorocket.com/StarTravel/StarTravel.html
Pravda, zadarmo to není ale tak strašně drahý to taky není.

[quote]Znáte někdo dostupný způsob jak spočítat parametry startovacích oken pro přelety mezi planetami (nebo i jinými tělesy Sluneční soustavy)? [/quote]

Vseobecne mozete ku ktorej kolvek planete startovat kedykolvek a da sa spocitat ako tam doletiet (len toho paliva co sa minie je skoda, priadne to bude trvat celu vecnost, priadne budete musiet vymysliet super motor aby to doleteleo este za vaseho zivota).

Vam asi pojde ale o nejake optimalne okno. To vychadza:

1, z toho co chcete pri danej planete robit (navedenie na obeznu drahy, vyuzitie rychlosti planety na zryhlenie alebo naopak na brzdenie pre let k inej planete....). Z toho vyplyva aku rychlost musite mat pri cielovej planete (a ak letite k inej planete a vyuzivate gravytacny prak, tak potrebujete vediet aj na aku rychlost potrebujete zrychlit a na aku drahu sa potrebujete dostat).

2, s cim tam letite (ake je to tazke, kolko paliva to ma na manevrovanie (pridavanie alebo brzdenie) pripadne ake delta V dokaze vyvynut motor. Cim vacsie delta V tym mensie naroky na startovacie okno.

3. Kedy tam chcete doletiet :).

Vseobecne na toto ziaden vzorcek nenajdete a na nejaku tabulku v Excely mozete zabudnut. Jedine co by ste vo forme tabulky nasli mozu byt predpocitane hodnoty pre konkretnu sondu v konkretnom obdobi.

Vo optimalne ak si chcete spocitat let k nejakej planete priamo, tak uz niekto spocital, ze energeticky najvyhodnejsie (pre priamy let) len vyuzitie Hohmannovej prechodovej drahy. Jedna sa o rovnicu elipsy a viete si ju spocitat pre lubovolny cas. Takze podla toho kedy tam chcete dorazit si to viete spocitat. Pripadne si viete najst kedy to bude najrychlejsie. Lenze pre ine planety ako Venusa a Mars zistite, ze potrebuje veeeeeeeeeela paliva. Takze musite niektoru z tychto planet pouzit ako gravitacny prak. Takze si spocitate let k niektorej z nich tak aby ste dosiahli pozadovanu zmenu rychlosti (pripadne sa moze stat, ze ten prelet par krat zopakujete) a ked mate prislusnu rychlost tak spocitate prelet tak aby ste sa pri poslenom prelete naviedli na Hohmannovu drahu k cielovej planete.

Ked budete pocitat optimalne okno tak to bude taka "mala" sustava diferencialnych rovnic, ktoru pravdepodobne nespocitate, nie preto ze by som vas podcenil, ale preto, ze sa pravdepodobne algebraicky ani spocitat nebude dat. Takato sustava sa potom riesi numericky (dnes pomocou pocitaca, davnejsie pomocou miestnosti plnej asistentiek s logaritmickymi pravitkami). Tu sustavu budete potrebovat ked budete chciet pouzivat gravitacny prak, pre let k Marsu a Venusi to spocitate aj bez diferencialok. Startovacie okno vam potom vyde podla toho z akej obeznej drahy budete startovat (to znamena okno pre tuto drahu) to budu take male okienka pocas "velkeho" okna z ktoreho mozete z danej drahy vystartovat k danej planete kde chcete robit gravitacny skok.

Mozno, ze sa nasiel niekto kto spocital taketo okna (predpokladam ze NASA to ma predpocitane, minimalne tie velke okna) pre terajsie moznosti motorov a hmotnosti sond.

Ale vseobecne ide o vypocet sustavy diferencialnych rovnic.

Trosku sa pohrabat v googlovi alebo vo wiki a najdete o tom info. napr:

http://en.wikipedia.org/wiki/Hohmann_transfer_orbit

http://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_assist

Ales, mozno by pomohlo vediet, k comu to ma sluzit.

Lebo napr. propagatori Hohmanky sa v prvom priblizeni vobec netrapia s excentricitami drah, zmenou rychlosti pohybu planet,...
ale o vseobecnu propagaciu asi nejde :)

Podla potrebnej dosahovanej presnosti a ucelu by sa mozno dala nahovorit nejaka partia na vytvorenie daneho softiku a nemusela by ho tvorit jedna osoba. Jednotlive moduly by sa mohli tvorit samostatne, pripadne postupne vylepsovat. (pridavat vpliv, pocet telies...) mozno by sa dalo pouzit uz nieco jestvujuce...

Ak ide o jednorazovku, da sa rozsah zjedodusit a nasit namieru.

[quote]Ales, mozno by pomohlo vediet, k comu to ma sluzit.[/quote] Chci to prostě plně chápat a umět proto, abych si mohl spočítat potřebné parametry pohonného systému jak případných plánovaných sond, tak i proběhlých historických misí. Zajímá mne, jak to plánovači misí opravdu reálně počítají. Chci si nezávisle ověřit citlivost na případný start mimo startovní okno (o kolik větší musí být delta_v). Zjistit, které z příštích "oken" bude nejvýhodnější (a o kolik). Jak se plánují mise s dlouhodobým nízkým tahem (např. s iontovým motorem), tedy proč např. zapínají pohon zrovna "od února do dubna" a ne jindy? Atd.

Hledám tedy univerzální systém, který odpovídá současným reálně používaným postupům (včetně přesnosti) a který by mi umožnil spočítat libovolný konkrétní případ (stanovit potřebné parametry pohonného systému [delta_v] pro libovolný okamžik startu mezi libovolnými dvěma planetami [nebo mezi planetou a měsícem] a vybrat optimální startovní "okna" [včetně určení odpovídajících přeletových dob a "citlivosti" na přesnost startu]).

Díky za dosavadní odkazy a podklady. Základy samozřejmě znám a umím si spočítat parametry Hohmannovy dráhy, ale to mi prostě nestačí. Neumím si zatím poradit s "rozfázováním" výpočtu mezi jednotlivé sféry vlivu a také zatím nemám k dispozici přesný otevřený systém pro výpočet okamžitých poloh planet v prostoru pro libovolný daný čas.

Program StarTravel vypadá zajímavě, ale ze screenshotů mám dojem, že stejně poměrně dost zjednodušuje a nepočítá vše, co bych chtěl. Zatím ho tedy kupovat nebudu.

Odkazy s různými podklady určitě prozkoumám, ale rozhodně mi to bude nějaký čas trvat. Případné své konkrétní poznatky a závěry zde samozřejmě zveřejním.

Zatím ještě pořád doufám, že mnou hledaný SW systém už někde existuje, nebo že ho lze relativně snadno vytvořit. A to i tak, aby byl dostupný přímo na webu (jako webová aplikace). To je cíl, ke kterému bych rád dospěl.

Mozno prvy krok by nemusel byt moc zlozity.
Presny otvoreny model okamzitej polohy planet pre lubovolny cas, ako zakladny modul.

Podla mna by to slo spravit v Celestii [url]http://www.shatters.net/celestia[/url]. Vedlajsim efektom by mohlo byt aj pekna vizualizacia preletu. Bohuzial som dost vytazeny pracovne, inac by to bola vyzva.

Na serveru builder.cz, se kdysi vedla debata na tema simulace pohybu planet v slunecni soustave, treba by se neco z toho dalo pouzit.

[url]http://forum.builder.cz/read.php?13,1387679,1392180[/url]

[quote] Chci to prostě plně chápat a umět proto, abych si mohl spočítat potřebné parametry pohonného systému jak případných plánovaných sond, tak i proběhlých historických misí. Zajímá mne, jak to plánovači misí opravdu reálně počítají. Chci si nezávisle ověřit citlivost na případný start mimo startovní okno (o kolik větší musí být delta_v). Zjistit, které z příštích "oken" bude nejvýhodnější (a o kolik). [/quote]

No, pokud nechceš plánovat trajektorii úplně přesně, aby ses opravdu strefil třeba do Marsu :), tak jedno řešení by se asi nabízelo. Polohy planet lze velice přesně spočítat pomocí např. DE405. Jsou to JPL efemeridy planet ve formě Čebyševových polynomů, a když si dáš záležet, dostaneš jejich polohy se srovnatelnou přesností jako JPL Horizons. Polohy se dají spočítat i pomocí orbitálních elementů, které najdeš na JPL SSD, ale to už není tak přesné. Tam může být ve výsledku chyba i pár miliónů km, ale pro hrubý nástřel by to mohlo stačit a na tohle opravdu stačí třeba Excel.

Takže si řekneš, kdy chceš letě, a jak dlouho chceš letět. Spočítáš tedy polohy planety (souřadnice X, Y, Z) ze které chceš letět v době startu a polohu planety na kterou letíš v době příletu. Vlastní trajektorii pak řeší Lamberova úloha, ze které vypadne stavový vektor a tím i orbitální parametry trajektorie. Na to také stačí Excel.

Lambertova úloha ovšem neřeší vliv gravitace a to je potřeba dopočítat a tím výsledek upřesnit. Myslím ale, že k tomu co potřebuješ by tohle mohlo stačit.

Díky za další informace. Snad se v tom už pomalu začínám trochu orientovat. Vypadá to, že základem řešení je tzv. "Lambertova úloha" ( http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert's_problem ) která dokáže určit stavový vektor "sondy" na začátku libovolného přeletu. Tato úloha se dá řešit různými způsoby a zřejmě existuje i relativně jednoduché řešení realizovatelné např. pomocí Javascriptu např. na stránce http://ccar.colorado.edu/~rla/lambert_j2000.html (zde jsou dokonce dopočítávány i stavové vektory Země a Marsu pro určité datumy). U toho Javascriptu už by teoreticky stačilo dodělat numerické řešení řady startovacích a cílových datumů a tím nalézt určitá optima. Výsledkem je ale zřejmě jen přelet "mimo sféry vlivu planet", takže přesné delta_v pro odlet a přílet je ještě třeba upřesnit dopočtem "ve sféře vlivu planety". Je to tak? Ještě si to budu muset upřesnit ale vypadá to zatím nadějně.

Když se podíváš na ten gadget čas na Marsu, tak tam je v JS výpočet poloh planet z DE405 (Slunce, Mars, Měsíc, barycentrum Měsíc-Země) a mám tam i výcuc z DE405 od začátku letošního roku asi tři roky dopředu. Zatím tam ještě nemám tu Lambertovu úlohu, ta tam bude až odstartuje Phobos-Grunt, aby bylo možné sledovat, kde právě je a pak i MSL.

Ales, si odhaleny! Urcite hladas len nahradu ze knizku:

Efemeridy pro astrology 1890 - 2030
anotace
Jedná se o nové souborné vydání základní řady efemerid shrnuté do jednoho svazku pro 141leté období v kvalitní plátěné vazbě. V efemeridách jsou uváděny délkové údaje o polohách planet (včetně Chirona a výstupného uzlu) pro 0h00m UT. Úvodní část obsahuje podrobný návod na lineární i kubickou interpolaci hodnot. Kniha obsahuje též kompletní tabulku letních a zimních časů platných na našem území.

btw. ktovie jak presnymi udajmi disponuju :D

Zdrojove kody pro vypocty efemerid planet, kresleni map atd. najdete v archivu Instantnich Astronomickych Novin na teto adrese: [url]http://archiv.ian.cz/data/soft.htm[/url]

Podobným nápadem (počítat optimální dráhy sond) jsem se už kdysi zabýval. V jádru to nakonec nebude nic až tak obtížného.

Základem by měl být modul, počítající přesné polohy planet z efemerid. Ty jsou běžně dostupné, takže tahle věc je snadno řešitelná.

Na to bych nasadil simulaci pohybu hmotného bodu (sondy) v proměnném gravitačním poli, tvořeném Sluncem a planetami. Protože jde o řádově sotva desítky těles, jejichž vektory se pouze sčítají (navzájem se neovlivòují), je to v podstatě triviální věc. Jediným problémem je možný relativistický přístup. Měla-li by se vzít v úvahu retardovaná a advancovaná pole, tak nevím... Ale možná by ani to nebylo s efemeridy tak obtížné, prostě by se jen pro každé těleso (planetu) posunula její poloha vůči sondě o správný čas do minulosti.

A pak už bych byl opravdu hodně surový, spolehl se výhradně na brutální výpočetní sílu a pomocí vhodného genetického algoritmu jednoduše simuloval ohromná množství postupně se zlepšujících drah. Měnil bych okamžiky spuštění motoru sondy, dobu trvání a velikost a směr silového vektoru tak dlouho, až by výsledná dráha byla z hlediska zadání "optimální".

Velmi dobrou optimalizací by bylo předpočtení poloh planet z efemerid na uvažované období a uložení do tabulek. Deset planet, sto let dopředu, po minutě, 3*10 bajtů na vektor polohy pro každou dává sotva cca 15 GB. Otázkou je, jestli minutové rozlišení stačí, ale z čísel je zřejmé, že i sekundové je snesitelné - ostatně nikdo nás nenutí opravdu počítat celých sto let, pro let sondy stejně uvažujeme období jen cca deseti let.

Z implementačního hlediska je pro mne nejobtížnější sebrat někde ty efemeridy v tak prostém tvaru, abych je mohl co nejsnadněji transformovat do kódu.

Jestli bude zájem, můžeme tento přístup probrat a případně i implementovat. Jeho výhoda je v tom, že zřejmě zahrne i různé gravitační praky a podobné efekty.

Ještě dvě věci - možná by ani nebylo nutné počítat polohy planet přímo z efemerid po sekundách, zřejmě by stačilo vypočíst jejich polohy s mnohem menším rozlišením a jen mezi nimi interpolovat.

V souvislosti s relativistickým přístupem mne napadá všetečná otázka - jak vlastně fungují ty efemeridy, z nichž se počítají polohy planet? Jsou geocentrické, tj. poloha těles v určitém čase je vztažená k Zemi, nebo barycentrické, nebo jaké? Připomínám, že díky konečné rychlosti šíření gravitace jsou efektivní polohy těles ve "stejném" čase v různých místech prostoru různé. Nebo jsou ty efemeridy natolik nepřesné, že podobné subtilní korekce nemají naprosto žádný význam?

[quote]Zdrojove kody pro vypocty efemerid planet, kresleni map atd. najdete v archivu Instantnich Astronomickych Novin na teto adrese: [url]http://archiv.ian.cz/data/soft.htm[/url] [/quote]

Díval jsem se. Jde o soubor kódů v Pascalu (dnes už mírný problém), počítající polohy jen větších těles, s přesností zřejmě zcela dostačující pro pozorovací účely. Obávám se ale, že pro uvažovaný záměr (výpočty optimálních letů sond) by mohly fungovat snad jen jako jakési první přiblížení.

Je třeba sehnat kód, který mi pro dané těleso a čas vrátí 3D vektor jeho polohy. A rozhodnout se, jestli budu počítat relativisticky nebo ne - já myslím, že to nezbytné bude, přece jen k Marsu je to od Země odhadem půlhodina a za 30 minut sebou už ta planeta o kus hejbne.

urcite je relaivisticky vypocet presnejsi, ale je to primerane dosahovanym presnostiam konstrukcie pohonu a presnostiam efemerid?

dosiahnut o 4 rady presnejsi vpocet, ako je moznost ovladania pohonu je asi zbytocne, ale asi radsej ako ani len nedosiahnut jeho moznosti.

btw. aky rozdiel ocakavas medzi prvym priblizenim a spresnenym vypoctom?

[quote]Jsou geocentrické, tj. poloha těles v určitém čase je vztažená k Zemi, nebo barycentrické, nebo jaké? [/quote]

No to závisí na tom, jak polohy planet budu počítat. Pokud k výpočtu použiju klasické keplerovcké orbitální elementy, tak ty jsou povětšinou udávané v ekliptikálních souřadnicích s počátkem ve středu Slunce a k poloze jarního bodu 2000. Tento výpočet ale moc přesný není.

Jinou a přesnější metodou s přesnopstí řádově metry je použití JPL efemerid JPL DE405 apod. Ty jsou v souřadném systému ICRF vztaženému k barycentrům. Pro planety je to barycentrum sluneční soustavy, tedy přesněji barycentra těles, která byla při výpočtu efemerid do integrace zahrnuta (planety, Slunce + nějaké asteroidy... jejich počet si ale už nepamatuju). Výpočet polohy Měsíce je zase vztažen k barycentru Země-Měsíc.

Asi ma zozeriete, ale nevidim vyznamny prinos pre let na Mars pre "hustejsie" vzorkovanie ako
Merkur, Venusa, 6minut
Jupiter 1 hodina
Saturn 3 hodiny
Uran, Neptun 24 hodin.

Zem, Mars do vzdialenosti od sondy
0,2-1 mil km 1sekunda
1 - 10 mil km 20sek.
10 - 50 2min.
50 - 150 mil km 6minut
150 - 300 mil km 30min

Takze 30 minutove efemeridy s pripadnou interpolaciou musia stacit
Pri Zemi priamkova interpolacia spravi max. odchylku polohy 2,4km, u vnutornych planet viac, u vonkajsich menej. (Mars uz len 1 km,...)
to su desatiny a stotiny sekundy letu.

Tie planovane GB sa daju celkom okresat.

P.S. A to je este mozna interpolacia po kuznici priemernej drahy a to by mohli stacit efemeridy pomali tyzdnove.

[quote]urcite je relaivisticky vypocet presnejsi, ale je to primerane dosahovanym presnostiam konstrukcie pohonu a presnostiam efemerid?

dosiahnut o 4 rady presnejsi vpocet, ako je moznost ovladania pohonu je asi zbytocne, ale asi radsej ako ani len nedosiahnut jeho moznosti.

btw. aky rozdiel ocakavas medzi prvym priblizenim a spresnenym vypoctom? [/quote]

Vím já? Ono je to vlastně fuk, šlo by to klidně vyzkoušet na úplně tupém modelu s planetami na dokonalých kružnicích. Jestli to najde rozumnou dráhu tam (a jsem si jistý, že najde), pak teprve použít přesnější model pohybu planet.

[quote]Asi ma zozeriete, ale nevidim vyznamny prinos pre let na Mars pre "hustejsie" vzorkovanie ako
Merkur, Venusa, 6minut
Jupiter 1 hodina
Saturn 3 hodiny
Uran, Neptun 24 hodin.

Zem, Mars do vzdialenosti od sondy
0,2-1 mil km 1sekunda
1 - 10 mil km 20sek.
10 - 50 2min.
50 - 150 mil km 6minut
150 - 300 mil km 30min

Takze 30 minutove efemeridy s pripadnou interpolaciou musia stacit
Pri Zemi priamkova interpolacia spravi max. odchylku polohy 2,4km, u vnutornych planet viac, u vonkajsich menej. (Mars uz len 1 km,...)
to su desatiny a stotiny sekundy letu.

Tie planovane GB sa daju celkom okresat.

P.S. A to je este mozna interpolacia po kuznici priemernej drahy a to by mohli stacit efemeridy pomali tyzdnove. [/quote]

Zřejmě by interpolace mězi řádově hodiny vzdálenými polohami opravdu úplně stačila, zcela souhlasím.

Tak šup, vše je vyřešeno, kdo to nakóduje?

[quote]...Tak šup, vše je vyřešeno, kdo to nakóduje? [/quote]
dajte mi ludi a ja to urobim ;)

Az uspesne vyriesim, ako bezpecne spalit vodny roztok KNO3 s petrolejom bez priotravenia a explozie, tak pomali zacnem zhanat ludi schopnych to nakodovat.

[quote][quote]urcite je relaivisticky vypocet presnejsi, ale je to primerane dosahovanym presnostiam konstrukcie pohonu a presnostiam efemerid?

dosiahnut o 4 rady presnejsi vpocet, ako je moznost ovladania pohonu je asi zbytocne, ale asi radsej ako ani len nedosiahnut jeho moznosti.

btw. aky rozdiel ocakavas medzi prvym priblizenim a spresnenym vypoctom? [/quote]

Vím já? Ono je to vlastně fuk, šlo by to klidně vyzkoušet na úplně tupém modelu s planetami na dokonalých kružnicích. Jestli to najde rozumnou dráhu tam (a jsem si jistý, že najde), pak teprve použít přesnější model pohybu planet. [/quote]

Interpolace není optimální, ale měla by stačit. Bude znamenat pouze o palivo na korekce více. Otázkou je, zda bude alespon pocitat s odhadovaným bodem polohy planety v okamziku priletu (rekneme predstrel), nebo zda bude planetu po celou dobu "honit". Interpolace muze mit dalsi vyhodu, tou je nizsi vzajemna rychlost pri priletu.
Jsou tu i další problémy souvisejici s vypocty, viz. tento odkaz, doporučuji bod 4.
[url] http://www.osel.cz/index.php?clanek=4622 [/url]

[quote][quote][quote]urcite je relaivisticky vypocet presnejsi, ale je to primerane dosahovanym presnostiam konstrukcie pohonu a presnostiam efemerid?

dosiahnut o 4 rady presnejsi vpocet, ako je moznost ovladania pohonu je asi zbytocne, ale asi radsej ako ani len nedosiahnut jeho moznosti.

btw. aky rozdiel ocakavas medzi prvym priblizenim a spresnenym vypoctom? [/quote]

Vím já? Ono je to vlastně fuk, šlo by to klidně vyzkoušet na úplně tupém modelu s planetami na dokonalých kružnicích. Jestli to najde rozumnou dráhu tam (a jsem si jistý, že najde), pak teprve použít přesnější model pohybu planet. [/quote]

Interpolace není optimální, ale měla by stačit. Bude znamenat pouze o palivo na korekce více. Otázkou je, zda bude alespon pocitat s odhadovaným bodem polohy planety v okamziku priletu (rekneme predstrel), nebo zda bude planetu po celou dobu "honit". Interpolace muze mit dalsi vyhodu, tou je nizsi vzajemna rychlost pri priletu.
Jsou tu i další problémy souvisejici s vypocty, viz. tento odkaz, doporučuji bod 4.
[url] http://www.osel.cz/index.php?clanek=4622 [/url] [/quote]

Ne, určitě by navržený přístup nenavrhoval dráhy, které by planetu "honily", podobně jako třeba samonaváděcí střela honí letadlo. Přišel by s optimálními drahami na základě zvoleného hodnocení, zřejmě tedy energetické náročnosti. Tím jsem si jistý, protože jsem analogickou úlohu už několikrát programoval a vždy to fungovalo.

Esoterické problémy sond Voyager a dalších jsou snad potížemi teoretických fyziků, pro tuto ryze inženýrskou úlohu nemají význam.

Bohužel nemám přinejmenším do poloviny října ani těch pár hodin na implementaci. Snad někdy potom.

[quote]... Takze 30 minutove efemeridy s pripadnou interpolaciou musia stacit. Pri Zemi priamkova interpolacia spravi max. odchylku polohy 2,4km, u vnutornych planet viac, u vonkajsich menej. (Mars uz len 1 km,...). to su desatiny a stotiny sekundy letu.
[/quote]

Dělal jsem přibližné a numerické metody a připojím poznámku:

Nemá smysl se hnát za příliš přesným vzorkováním dráhy, protože výpočet každého vzorku zanáší chybu (díky omezené přesnosti použité aritmetiky). Takže od určité "jemnosti" tyto zanešené chyby kompletně znehodnotí výsledek.

Toto je velmi zásadní záležitost, protože děláte velmi dlouhou řadu navazujících výpočtů.

U jednoduchých výpočtů lze tuto chybu kvantifikovat, ale často je jednodušší provést výpočet pro několik "jemností dělení" a srovnat výsledky. Nehledě na fakt, že od určité komplexnosti výpočtu je kvantifikace chyby téměř nemožná.

Nejlepší je taková organizace výpočtu, kdy se omezuje přenos chyb do dalších kroků (tedy např. konvergenční interpolační metody). Pokud toto nelze, pak je potřeba do výpočtu zavést "waypointy" tedy uzlové body, kdy dráhu doladíte podle další sady kritérií (a za letu i podle reálného stavu).

Hezký den

jj, to mi pripomina, ze teoriu nestaci len ovladat, ale ju treba aj pouzivat... :D

[quote]Podobným nápadem (počítat optimální dráhy sond) jsem se už kdysi zabýval. V jádru to nakonec nebude nic až tak obtížného.

Základem by měl být modul, počítající přesné polohy planet z efemerid. Ty jsou běžně dostupné, takže tahle věc je snadno řešitelná. ... Zřejmě by interpolace mězi řádově hodiny vzdálenými polohami úplně stačila.

Na to bych nasadil simulaci pohybu hmotného bodu (sondy) v proměnném gravitačním poli, tvořeném Sluncem a planetami. Protože jde o řádově sotva desítky těles, jejichž vektory se pouze sčítají (navzájem se neovlivòují), je to v podstatě triviální věc. Jediným problémem je možný relativistický přístup. ...

A pak už bych byl opravdu hodně surový, spolehl se výhradně na brutální výpočetní sílu a pomocí vhodného genetického algoritmu jednoduše simuloval ohromná množství postupně se zlepšujících drah. Měnil bych okamžiky spuštění motoru sondy, dobu trvání a velikost a směr silového vektoru tak dlouho, až by výsledná dráha byla z hlediska zadání "optimální".

Jestli bude zájem, můžeme tento přístup probrat a případně i implementovat. Jeho výhoda je v tom, že zřejmě zahrne i různé gravitační praky a podobné efekty.

Tak šup, vše je vyřešeno, kdo to nakóduje?[/quote] Výše uvedený princip určitě funguje, ale potřeba "brutální výpočetní síly" bude asi opravdu vysoká.

Pokusil jsem se problém výpočtu startovacích oken k planetám vyřešit trochu snadněji tak, aby výpočet mohl v rozumném čase proběhnout i v JavaScriptu na webu.

Svůj prozatimní výsledek jsem dal na http://mek.kosmo.cz/zaklady/okna.htm .

Počítá to zatím jen okna mezi Zemí a Marsem a výpočet trvá podle rychlosti PC u uživatele řádově několik sekund (max desítky sekund).

Za základ jsem vzal řešení "Lambertova problému", které jsem našel na http://ccar.colorado.edu/~rla/lambert_j2000.html . Algoritmy uvedené v té stránce umí spočítat stavové vektory Země a Marsu pro zadaná data (Juliánská) a pak i vyřešit "Lambertův problém" a určit vektory pro odlet a přílet na hranici sféry vlivu planet pro zadaný přeletový čas.

Použil jsem ty algoritmy a nasadil jsem je na tento princip:
- nejprve odhadnu přeletovou dobu (mezi Zemí a Marsem používám 240 dní)
- postupně počítám stavové vektory obou planet (pro různá data startu a odpovidající data příletu)
- iterativně hledám minimální Lambert vektor (pro danou přeletovou dobu)
- výsledek se pokouším zpřesnit iterativním nalezením optimální přeletové doby (pro minimální Lambert vektor)
- nakonec zhruba dopočítám reálné delta_v pro odlet z kruhové dráhy ve výši 200 km a pro přílet na elipsu 200 x 200000 km (pomocí rozdílu kinetických energií)
- zobrazím nalezená data a parametry
- je možno počítat okna pro minimální odletové delta_v (bez ohledu na příletovou rychlost) nebo okna pro minimální součet rychlosti odletu i příletu (vhodné pro orbitální sondy)

Výsledky vypadají docela nadějně, ale potřeboval bych je nějak ověřit. Nalezená data zhruba odpovídají startovacím oknům, které jsem nalezl na internetu. Delta_v nedokážu ověřit (ale připadají mi realistická).

Z předběžných výsledků je opravdu vidět, že okna v různých rocích se liší v potřebných delta_v až o několik set m/s.

Vše potřebné je vidět ve zdrojovém kódu stránky, takže kdo má zájem, může to prozkoumat a případně i nějak využít. Dejte mi vědět, jestli vám mnou použitý princip připadá rozumný a jestli jsou výsedky přijatelné (osobně mi stačí okna s přesností na týden a delta_v s přesností na desítky m/s).

Dalo by se něco podobného spočítat pro cestování přes Lagrangeovy body, tzv. gravitačními koridory, nebo je to přespříliš složité?
http://technet.idnes.cz/meziplanetarni-superdalnice-je-pry-jedna-z-mozno...

Kdysi jsem podobnou úlohu řešil v Excelu, takže jsem to oprášil a jenom dopočítal ta deltaV. Konkrétně pro to startovací okno 28.4.2001 mi vyšla přeletová trajektorie: A=1.206 AU, EC=0.183 a IN=3.09°. Jenom to deltaV pro zachycení u Marsu mi vyšlo kapku větší, asi o 10%, ale možná jsem se někde seknul.

Obrázek přeletové trajektorie: http://space.winsoft.cz/Images/Public/EM2001.png

Nicméně takovýto odhad dráhy by mohl dobře posloužit pro přesnější numerický výpočet. Je tu odhad počátečního stavového vektoru, dá se dopočítat sklon LEO k rovníku, ze které budeme startovat, a i čas, kdybychom měli dodat potřebné deltaV. Jinak při numerické integraci pohybových rovnic nezapomenout na Měsíc ;)

Jo, vlastně jsem zapomněl napsat, že ta deltaV co spočítal Aleš by mohla sedět, pokud jsme neudělali oba podobnou chybu. :)

Ověřit se to dá asi jedině numericky. Zkoušel jsem hledat deltaV pro odlet ze Země a přílet k Marsu a parametry dráhy u sond jako MRO, MGS apod., ale moc jsem neuspěl. :(

Skusal niekto pocitat aj brutalne drahy sond?
Typu: mam k dispozicii naviac dv=4200m/s, ako mozem skratit drahu?

tajomstvo pilotovaneho letu na Mars povazujem zvladnut prelet Zem-Mars pod 165 dni. Je mozne dopocitat aky prirastok dv to obnasa voci hohmanovej drahe?

[quote]tajomstvo pilotovaneho letu na Mars povazujem zvladnut prelet Zem-Mars pod 165 dni. Je mozne dopocitat aky prirastok dv to obnasa voci hohmanovej drahe? [/quote] Nevím sice, proč by zrovna 165 dní mělo být nějak výrazně lepších než 180 nebo 200 dní, ale upravil jsem skript na adrese http://mek.kosmo.cz/zaklady/okna.htm tak, aby se dal ručně zadat počáteční pevný odhad doby přeletu. Pokud předpokládám, že řešení Lambertovy úlohy (na kterém je skript založen) zahrnuje i "nehohmannovské" dráhy, tak mi z experimentů vyplývá, že rozdíl je značně závislý na konkrétním startovacím oknu, ale obvykle činí cca 200 - 400 m/s na odletu od Země a cca 600 - 1000 m/s na příletu k Marsu (největší rozdíl je v případech, kdy optimální přeletová doba vychází značně delší než 200 dní). Takový rozdíl má určitě dost podstatný vliv na "nosnost" dopravního systému, ale na druhou stranu to jistě není nic nezvládnutelného (i s klasickými pohony).

V tabulce v L+K kdysi dávno byl údaj pro let k Marsu při startovní rychlosti 16,67 km/s (3. kosmická pro odlet ze Země) - doba letu v optimálním okně byl 70 dní. Řekl bych že údaje mezi tím jsou kvadratická úměra - vyšší rychlost znamená kratší dráhu, kterou musí proletět a navíc letí rychleji. Samozřejmě je pak problém se zachycením u Marsu - motoricky nebo aerodynamicky náročnější.

Ak chcem pouzit jeden nosic na dopravu, a uskutocnit kratkodoby pobyt, tak prelet Zem - Mars musi byt pod pol roka aj s rezervou a 1/2 pobytom.

Ine by bolo pouzit na let k Marsu jeden nosic (nebrzdeny pri Marse) a druhy na navrat. Pricom tieto nosice by si plavali po svojich drahach a drahy by boli len mierne upravovane, nebrzdene, neurychlovane.

Tieto "autobusy" by mohli byt zasobovane niecim podobnym ATV, takze bez nutnosti obsluhy a boli by viacnasobne pouzitelne. Jedine co by sa muselo urychlovat a brzdit by ostalo palivo, zasoby, posadka, pristavaci modul.
Autobus by neohrozoval Zem koliziou, nakolko by rovinu drahy Zeme pretinal mimo drahy Zeme.(medzi Zemou a Slnkom?) A predpokladam, ze elipsa by bola pretiahnuta az za drahu Marsu.

Potom ostava najst orbity a minimalny pocet drah, aby boli autobusy co najviac pouzitelne s co najmensimi nutnymi upravymi svojich drah.

Pilotovany let by sa uskutocnil vzdy az po uspesnom zasobeni a korekcii drahy prislusnej dvojice autobusov.

Naviac tieto "autobusy" by mohli byt vybavene nizkoefektivnymi solarnymi plachtami, resp. rozmernymi solarnymi panelmi, takze na planovanu orbitu by sa dostavali prvych 3-7 rokov, a dalsich 40-50 rokov by premavali takmer v automatickom rezime.

Obezna doba Zeme a Marsu je takmer celonasobok, takze by nemal byt problem udrziavat autobusy na pouzitelnej drahe aj s pomerne malymi plachtami.
Navyse su mozne aj drahy s periheliom 0,5 - 0,7 AU a tam sa da plachtit nadherne.

po vysluzbe by bolo mozne mnoho dielov "recyklovat" priamo na orbite

Vy jste mi dali! Tak dlouho jste provokovali, až jsem si ten software napsal. Nemůžu říct, že bych podle něj nějak moc toužil lítat vesmírem, alespoÒ v téhle verzi ne, ale dráhy to jakési skutečně počítá.

Občas úspěšně, občas trochu bizarně:

[url] http://spaceway.umbra.cz/spaceway_gravitacni_manevry.png [/url]

Tady bylo cílem najít dráhu z povrchu Země na kruhovou dráhu ve výši 250 km kolem Marsu. Startovní okno (vyšetřovaná oblast) bylo čtyři roky, maximální celkový impuls 11.5 km/s. Kruhovou dráhu se sice v tomto běhu najít nepodařilo, ale výsledek je docela pěkný.

Nejdříve vidíme průlet kolem Měsíce (či spíše v tomto měřítku nevidíme, ale ze změny rychlosti je zjevný), následuje oblet Marsu, výlet do pásu asteroidů, nový přílet k Marsu, jeho oblet ve stanovené výšce 250 km a nový gravitační prak, tentokrát už někam úplně do tramtárie. Kolem Marsu bychom sice nekroužili, ale zato bysme se znamenitě prolétli.

Tak co, jakou dráhu vám mám najít?

Nechcem vyrýva - ale čo tak nejakú už absolvovanú? Viking, Mars, oba MER...

[quote]Nechcem vyrýva - ale čo tak nejakú už absolvovanú? Viking, Mars, oba MER... [/quote]

To teď nepůjde. Nemám nakódované reálné polohy planet, jsou tam jen elipsy se správnými rozměry, ale neodpovídá jejich vzájemná fáze, nejsou nakloněné (z == 0), ani dálka vzestupného uzlu tam není (myslím, že se to tak jmenuje, prostě mám velkou poloosu vždycky rovnoběžnou s x-ovou souřadnicí). Musím nejdřív někde sebrat vzorce na reálnou polohu planet.

Zajímalo mne to především jako optimalizační úloha. Já vlastně ani nevím, kolik je ve skutečnosti potřebná zásoba rychlosti třeba pro let k Marsu?

väčšina posledných misií k mesiacu smerovala na jeho orbitálnu dráhu..
je to energeticky náročnejšie, ako manéver ktorý vykonávalo apolo?
ak áno, o ko¾ko?

[quote]väčšina posledných misií k mesiacu smerovala na jeho orbitálnu dráhu..
je to energeticky náročnejšie, ako manéver ktorý vykonávalo apolo?
ak áno, o ko¾ko? [/quote] Výrazem "orbitálnu dráhu" myslíš "polární dráhu"? Pokud ano, tak je třeba rozlišovat dvě věci. Buď samotné navedení na základní oběžnou dráhu (na LLO) nebo kombinaci s přistáním, spojováním na LLO a odletem zpět k Zemi.

Stručná odpověď na původní otázku zní: Ne, navedení na polární LLO není energeticky náročnější než manévr, který vykonávalo Apollo (na LLO dráhu s nižším sklonem).

Podle dostupných dokumentů (viz níže) to vypadá, že při příletu na LLO je možno vždy nalézt takovou trajektorii, že z hlediska delta-v (pro LOI - Lunar Orbit Insertion) je prakticky jedno, jaký sklon bude mít výsledná LLO dráha (lze se vejít pod 900 m/s). Je třeba ale přejít jen na vhodné základní dráhy začínající nad určitými místy selenografické délky.

Pro dlouhodobou orbitální misi (např. LRO) je to OK, ale pokud chceš přistát na určitém konkrétním místě na Měsíci, tak buď si pak musíš počkat až se dráha vhodně "pootočí" (max. cca 14 dní), nebo musíš při příletu spotřebovat větší delta-v pro LOI (max. cca 1300 m/s).

Pokud chceš navíc na Měsíci přistát a na LLO zanechat loď pro návrat, tak musíš počítat s tím, že na polární dráze se rychleji mění delta-v potřebné pro start z Měsíce, pro setkání s lodí a pro odlet k Zemi (TEI - Trans Earth Insertion). Proto bylo pro Apollo výhodnější používat LLO dráhy s nižším sklonem, které jsou trochu "bezpečnější" (prakticky kdykoliv během mise bylo možno odstartovat z Měsíce, spojit se na LLO a odletět k Zemi bez potřeby zvýšené zasoby delta-v). Z grafů v níže uvedených podkladech je vidět, že celková "úspora" delta-v může činit až několik set m/s (max. cca 500 m/s).

Viz např.:
http://www.spaceroutes.com/astrocon/AstroconVTalks/Condon-AstroconV.pdf
http://users.wpi.edu/~aiaa/esas/ESAS.REPORT.04.PDF

[img]http://mek.kosmo.cz/novinky/online/2010/img/teiloi.gif [/img]

dík..
fakt výborná dedukcia
orbitálna dráha :D :P niet sa čo čudova, už som na polo spal keď som to písal [Upraveno 17.3.2010 alamo]

stále ma \"mýli\" tento obrázok
[img]http://facstaff.gpc.edu/~fbuls/other/expl/deltavs4.jpg[/img]
dajú sa z neho vyvodi, dve rozličné delta v, pre dosiahnutie GEO

prví údaj 4330 m/s, sa pod¾a mòa vzahuje na Hohmanovský transfer
čo ale nie je to isté ako použitie GTO

s použitím GTO 3000 m/s, a pridaním apogeového impulzu 600 m/s
sa dostaneme k súčtu 3600 m/s

neviem odkia¾ to mám, ale kdesi som čítal, že GTO sa miesto Hohmanovského manévra, používa práve preto že je pre vynášanie satelitov výhodnejšie
ďalej v tom článku, stálo že na apogeoví manéver spotrebuje satelit 70% svojej zásoby paliva, a len 30 % mu zostáva na korekcie dráhy počas jeho životnosti

nevzniká ten efeket vďaka tomu, že satelit nie je navedený na parkovaciu dráhu na LEO, ale jeho \"parkovacou dráhou\" je GTO?

Zkusil jsem si to spočítat na simulátoru... Odlet z LEO ve výšce ISS 370km. Zážeh1 k dosažení apogea 35 800km = dV2.35km/s (10.05 - 7.7). Po 5.4hod na GTO zážeh2 v apogeu na kruhovou GEO = dV 1.46km/s (3.07 - 1.61). Celkový dV = cca 3.81km/s (2.35+1.46)
Tato přechodová dráha je v podstatě Hohmannova pro transfér s minimálním dV ve 2 fázích, ale pro chemické motory, tj. s vysokým tahem.
Naproti tomu hodnota 4,33km/s bude spíš asi transfer na GEO pro low-thrust transfer, např. Iontový pohon, kde dV pro velký specifický impuls není zas tak důležitý, protože množství paliva je daleko nižší než u high-thrust motorů. Zde se samozřejmě o Hohmanna nejedná, ale o průběžné navyšování dráhy v jakési spirále. [Upraveno 08.2.2011 raul]

V tomto směru by mne zajímalo, pro jakou startovní polohu jsou vlastně hodnoty dv GEO běžně udávány, vždy pro kosmodromy Kenedy, Kouoru, Zenit 3SL, Bajkonur nebo Pleseck jsou rozdílné, podle jak je nutno měnit rovinu dráhy.Např. pro Proton startující zhruba pod 60 st. k rovníku je ve vrcholu GTO nutno přidat pod úhlem 60 st další dv, která se rovná hodnotě rychlosti v apogeu GTO (vektorový součet rovnostranného trojúhelníku) a pak teprve elipsu zakroužit. Má někdo hodnoty dv GTO pro tyto různé startovací pozice?

Pages